阿贝尔的数学发现

2002年8月5日，全世界都在纪念历史上最卓越的数学家之一——挪威的阿贝尔诞辰200周年，他在26岁时死于肺结核。虽然阿贝尔生命短暂，研究成果却极为丰富。一部重要的数学百科全书里，共提到阿贝尔及“阿贝尔的”这个形容词近2000次。

由于阿贝尔的辉煌成就，在2001年，那时的挪威首相斯托尔滕贝格宣布成立阿贝尔捐赠基金，每年以他的名义颁发80万欧元奖金。这个奖仿效了诺贝尔奖，目的在于成为数学界最重要的奖项。

阿贝尔成长于挪威南部小镇耶尔斯塔德，在家中7个小孩里排行老二。他的父亲是路德教派神父，当过一段时间挪威国会议员。13岁之前，阿贝尔都是在家接受父亲的教育，直到进入离家120英里的克利斯丁安那教会学校就读，他的天分开始真正得以显露。一位数学老师察觉到这个小男孩异于常人的天赋后，不断尽力鼓励他。

阿贝尔18岁时，父亲骤逝，他被迫承担起养家的重任。他开始担任基础数学家教，并且四处打零工维生，幸而师长提供财务援助，阿贝尔才能在1821年进入克利斯丁安那大学就读，也就是后来的奥斯陆大学。没多久，阿贝尔的光芒就超越了他的老师，不过，他的第一项重大成就后来却被证明是错的。阿贝尔相信他找到了五次方程的解法，并把论文寄给一家科学期刊发表，但编辑看不懂他的解法，要求他提供数字范例。

阿贝尔随即着手满足这项要求，但很快发现了之前推导过程中的一个错误。然而错误却带来了好处。纠正错误时，阿贝尔意识到要以公式来解五次或更高次方的方程简直是不可能的。为了证明这个结论，阿贝尔用到了一个被称为群的概念，后来群论发展成现代数学的一个十分重要分支。

阿贝尔自掏腰包发表了这篇论文，然后靠着挪威政府的资助前往德国，到哥廷根拜访著名数学家髙斯。然而，高斯没有读过阿贝尔事先寄给他的论文，甚至在会面时明白告诉阿贝尔，不管阿贝尔写了什么，他都不感兴趣。阿贝尔失望之余，继续前往法国，这段附加行程却产生了幸运的副作用。前往巴黎途中，他在柏林结识了工程师克列尔，后者后来成为阿贝尔的密友及资助者。克列尔所创办的《纯粹数学与应用数学期刊》，这本期刊现今仍持续发行，曾刊登过许多阿贝尔的原始论文。

阿贝尔打算造访的法国同行们并不比那位德国教授更好客，通过引荐，阿贝尔把他发明的椭圆函数寄给当时法国首屈一指的数学家柯西，但完全没有引起他的注意。他的论文被遗忘，最后甚至全部遗失。虽然阿贝尔觉得沮丧，仍坚持留在巴黎，尽量争取别人对研究成果的认可；当时他的财务状况早已捉襟见肘，一天只能吃一餐。

但阿贝尔的牺牲最后并没有获得回报，虽然克列尔苦口婆心地劝他留在德国，阿贝尔还是回到了自己的故乡，那时他正生病又身无分文。阿贝尔离开后，克列尔开始设法帮助他在学术界寻找教职，最后他的努力终于成功了。在一封日期为1804年4月8日的信件中，他兴高采烈地告诉阿贝尔，柏林大学愿意提供他教授职位。很不幸的是，一切都太迟了，阿贝尔已经在两天前死于肺结核。

在许多与阿贝尔有关的概念中，让我们来简述一下“阿贝尔群”的概念。现代几何学把可以通过运算彼此关联的一组元素，定义为“群”，但这项定义必须满足下列4个条件：

第一，运算的结果必须也是群中的元素。

第二，运算必须符合“结合率”（associative law），也就是相继的两次运算的顺序可以改变，而且不会影响答案。

第三，必须有一个所谓零兀素（neutral element）存在，让运算结果不变。

第四，每个元素都必须由逆元素（inveree）。

例如，加法运算下的整数便是一个群，原因是：

第一，两个整数的和还是一个整数。

第二，加法运算是符合结合率的，因为\((a+6)+c=a+(6+c)\)。

第三，数字0是零元素，因为一个数字加上g持不变。

第四，有逆元素，例如：5的逆元素是二5。

有理数（整数与分数）在乘法运算下不能组成群，尽管两个有理数相乘还是有理数，5的逆元素是零元素则是1，但是0没有逆元素。

群可以分为“阿贝尔”群或“非阿贝尔”群，如果群中的元素在彼此相关联时可以交换（如\(5+7=7+5\)），就称为阿贝尔群。非阿贝尔群的例子之一是骰子的旋转，如果依序绕着两个不同的轴旋转一枚骰子，这两次旋转的顺序当然互有影响，你不妨自己试试。拿两枚骰子，然后在桌上把它们摆成相同的样子，第一枚骰子先绕着垂直轴旋转，再绕着水平轴旋转；第二枚骰子也朝相同方向，但先绕水平轴再绕垂直轴旋转。接着，你会发现这两枚骰子的各面朝着不同方向。因此，骰子旋转的群是非阿贝尔群。这个例子让著名的鲁比克方块的解法异常复杂。